Question

已知函数f（x）=alnx-1x（a∈R）（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y=-12x垂直，求切线

已知函数f（x）=alnx-1x（a∈R）（1）若曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线与直线y=-12x垂直，求切线方程；（2）讨论f（x）的单调性；（3）当a=1，且x≥2时，证明f（x-1）≤2x-5．

Answer 1

（1）解：∵f(x)＝alnx?

1

x

，
∴f′(x)＝

a

x

+

1

x2

．
由已知得f′（1）=a+1=2，则a=1，那么切点为（1，-1）．
故切线方程为y+1=2（x-1），即2x-y-3=0；
（2）解：由于f′(x)＝

a

x

+

1

x2

＝

ax+1

x2

(x＞0)．
当a≥0时，恒有f′（x）＞0，那么f（x）在（0，+∞）上递增；
当a＜0时，由f′（x）=0，得x＝?

1

a

．
若x∈(0，?

1

a

)，则f′（x）＞0，那么f（x）在(0，?

1

a

) 递增．
若x∈(?

1

a

，+∞)，则f′（x）＜0，那么f（x）在(?

1

a

，+∞)递减；
（3）证明：当a=1时，令g（x）=f（x-1）-（2x-5），
则g(x)＝ln(x?1)?

1

x?1

?2x+5．
g′(x)＝

1

x?1

+

1

(x?1)2

?2=?

(2x?1)(x?2)

(x?1)2

．
当x≥2时，g′（x）＜0，则g（x）在[2，+∞）上递减，那么g（x）≤g（2）=0．
故当a=1且x≥2时，f（x-1）≤（2x-5）．