Question

已知数列{an}中，a1=1，an+1=an+2n+1，且n∈N*．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn=2n+1anan+1，数列

已知数列{an}中，a1=1，an+1=an+2n+1，且n∈N*．（1）求数列{an}的通项公式；（2）令bn=2n+1anan+1，数列{bn}的前n项和为Tn．如果对于任意的n∈N*，都有Tn＞m，求实数m的取值范围．

Answer 1

（1）∵a_n+1=a_n+2n+1，
∴a_n+1-a_n=2n+1
∴a₂-a₁=2+1
a₃-a₂=4+1
…
a_n-a_n-1=2（n-1）+1
以上n-1个式子相加可得，a_n-a₁=2+4+…+2n-2+（n-1）=n²-1
∵a₁=1，
∴a_n=n²；
（2）由（1）知b_n=

2n+1

anan+1

=

1

n2

-

1

(n+1)2

，
∴T_n=（

1

12

?

1

22

）+（

1

22

?

1

32

）+…+（

1

n2

?

1

(n+1)2

）=1-

1

(n+1)2

∴数列{b_n}是递增数列，
∴最小值为1-

1

(1+1)2

=

3

4

，只需要

3

4

＞m，
∴实数m的取值范围（

3

4

，+∞）．