Question

已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线的斜率为3．（1）求实数a的值；（2）

已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线的斜率为3．（1）求实数a的值；（2）若f（x）≤kx2对任意x＞0成立，求实数k的取值范围；（3）当n＞m＞1（m，n∈N*）时，证明：nmmn＞mn．

Answer 1

（1）∵f（x）=ax+xlnx，∴f'（x）=a+lnx+1，
又∵f（x）的图象在点x=e处的切线的斜率为3，
∴f'（e）=3，即a+lne+1=3，
∴a=1；     
（2）由（1）知，f（x）=x+xlnx，
∴f（x）≤kx²对任意x＞0成立?k≥

1+lnx

x

对任意x＞0成立，
令g(x)＝

1+lnx

x

，则问题转化为求g（x）的最大值，
g′(x)＝

1 x ?x?(1+lnx)

x2

＝?

lnx

x2

，令g'（x）=0，解得x=1，
当0＜x＜1时，g'（x）＞0，∴g（x）在（0，1）上是增函数；
当x＞1时，g'（x）＜0，∴g（x）在（1，+∞）上是减函数．       
故g（x）在x=1处取得最大值g（1）=1，
∴k≥1即为所求；           
（3）令h(x)＝

xlnx

x?1

，则h′(x)＝

x?1?lnx

(x?1)2

，
由（2）知，x≥1+lnx（x＞0），∴h'（x）≥0，
∴h（x）是（1，+∞）上的增函数，
∵n＞m＞1，∴h（n）＞h（m），即

nlnn

n?1

＞

mlnm

m?1

，
∴mnlnn-nlnn＞mnlnm-mlnm，
即mnlnn+mlnm＞mnlnm+nlnn，
lnn^mn+lnm^m＞lnm^mn+lnnⁿ，ln（mnⁿ）^m＞ln（nm^m）ⁿ，
∴（mnⁿ）^m＞（nm^m）ⁿ，
∴

n m

m n

＞

m

n

．