Question

设定义域为R的函数f（x）满足下列条件：①对任意x∈R，f（x）+f（-x）=0；②对任意x∈[-1，1]，都有

设定义域为R的函数f（x）满足下列条件：①对任意x∈R，f（x）+f（-x）=0；②对任意x∈[-1，1]，都有 f( x 1 )-f( x 2 ) x 1 - x 2 ＞0 ，且f（-1）=-1．若函数f（x）≤t 2 -2at+1对所有的x∈[-1，1]都成立，则当a∈[-1，1]时，t的取值范围是（　　） A．-2≤t≤2 B．t≤ 1 2 或t=0或t≥ 1 2 C．- 1 2 ≤t≤ 1 2 D．t≤-2或t=0或t≥2

Answer 1

由f（x）+f（-x）=0得，f（x）=-f（-x）， 则定义域为R的函数f（x）是奇函数， ∵对任意x∈[-1，1]，都有 f( x 1 )-f( x 2 )   x 1 - x 2 ＞0 ， ∴f（x）在[-1，1]上是增函数， 则f（x）在[-1，1]上的最大值是f（1）=-f（-1）=1， ∵f（x）≤t 2 -2at+1对所有的x∈[-1，1]都成立， ∴t 2 -2at≥0对所有的a∈[-1，1]都成立， 设g（a）=t 2 -2at，a∈[-1，1]， 则 g(1)≥0 g(-1)≥0 ，∴ t 2 -2t≥0 t 2 +2t≥0 ，解得t≤-2或t=0或t≥2， 故选D．