Question

已知：定义在R上的函数f（x）=x 2 （ax-3），其中a为常数．（1）若a=1，求：f（x）的图象在点（1，-2）处

已知：定义在R上的函数f（x）=x 2 （ax-3），其中a为常数．（1）若a=1，求：f（x）的图象在点（1，-2）处的切线方程；（2）若x=1是函数f（x）的一个极值点，求：实数a的值；（3）若函数f（x）在区间（-1，0）上是增函数，求：实数a的取值范围．

Answer 1

（1）当a=1时，f（x）=x 3 -3x 2 ，则f′（x）=3x 2 -6x=3x（x-2）， 则k=f′（1）=-3， ∴切线方程为：y+2=-3（x-1），即3x+y-1=0； （2）f（x）=ax 3 -3x 2 ，得到f′（x）=3ax 2 -6x=3x（ax-2）， ∵x=1是f（x）的一个极值点， ∴f′（1）=0即3（a-2）=0，∴a=2； （3）①当a=0时，f（x）=-3x 2 在区间（-1，0）上是增函数，则a=0符合题意； ②当a≠0时，f′（x）=3ax（x- 2 a ），令f′（x）=0，则x 1 =0，x 2 = 2 a ， 当a＞0时，对任意x∈（-1，0），f′（x）＞0，则a＞0符合题意； 当a＜0时，当x∈（ 2 a ，0）时，f′（x）＞0，则 2 a ≤-1，∴-2≤a＜0符合题意， 综上所述，a≥-2满足要求．