Question

如图,过点P(2,1)作直线l,与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点.求:

当abo周长最小时，l的方程

Answer 1

方法一:
要使三角形AOB的面积最小,则二直角边长就必须为定值,因为直线经过点P(2,1),过点P作平行于X,Y轴的直线,分别交X,Y轴于点E,F,而四边形OEPF为定值,要使三角形AOB的面积最小,则三角形FPB的面积必须最小,则只有二直角边为定值,即FP=2,FB=1,则三角形FPB的面积最小,就有三角形FPB的面积=三角形EPA的面积,
那么直线L的方程为Y=-1/2X+2,

方法二:因为直线过点P(2,1),是属于直线系方程,即有m条直线必经过此点.
则此条直线方程可设为:Y-1=m(x-2),即直线必过定点P(2,1).
当X=0时,Y=1-2m,(m<0)
当Y=0,X=2-1/m=(2m-1)/m.
S三角形AOB的面积=1/2*(1-2m)*(2m-1)/m
=-1/2(4m^2-4m+1)/m
=2-1/2(4m+1/m),
要使S最小,4m+1/m就必须最大,
因为m<0,则-m>0,就有
(-4m)+(-1/m)≥2*√[(-4m)*(-1/m)]=2*2=4,当且仅当(-4m)=(-1/m)时,取等号,即-4m=-1/m,|m|=1/2,(m<0),
m=-1/2.
则直线L的方程为Y=-1/2X+2.

追问

是周长

Answer 2

没有图呀。设OA=a，OB=b，AB=c。周长等于a+b+c。可证当a=b时周长最短。即直线方程是
y=kx+a，求出k=-1.代入点P，得a=3，所以方程是y=-x+3

追问

为什么a=b的时候最小。求证过程