Question

已知关于x的三次多项式f（x）除以x 2 -1时，余式是2x-3，除以x 2 -4时，余式是-3x-4时，求这个三次多项式

已知关于x的三次多项式f（x）除以x 2 -1时，余式是2x-3，除以x 2 -4时，余式是-3x-4时，求这个三次多项式．

Answer 1

设f（x）=ax 3 +bx 2 +cx+d（a≠0）， f（x）除以x 2 -1，x 2 -4时， 商式分别为ax+m，ax+n， 则ax 3 +bx 2 +cx+d=（x 2 -1）（ax+m）+2x-3①， ax 3 +bx 2 +cx+d=（x 2 -4）（ax+n）-3x-4②， 在①式中分别取x=1，-1时， a+b+c+d=-1③ -a+b-c+d=-5④ 在②式中分别取x=2，-2时， 8a+4b+2c+d=-10⑤ -8a+4b-2c+d=2⑥ 联立③④⑤⑥，解得：a=- 5 3 ，b=- 1 3 ，c= 11 3 ，d=- 8 3 ． 所以所求的三次多项式为f（x）=- 5 3 x 3 - 1 3 x 2 + 11 3 x- 8 3 ．