Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）在x= π 6 取得最大值2，方程f（x

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）在x= π 6 取得最大值2，方程f（x）=0的两个根为x 1 、x 2 ，且|x 1 -x 2 |的最小值为π．（1）求f（x）；（2）将函数y=f（x）图象上各点的横坐标压缩到原来的 1 2 ，纵坐标不变，得到函数y=g（x）的图象，求函数g（x）在[- π 4 ， π 4 ]上的值域．

Answer 1

（1）由题意A=2，函数f（x）最小正周期为2π，即 2π ω =2π，∴ω=1． 从而f（x）=2sin（x+φ）， ∵f（ π 6 ）=2， ∴sin（ π 6 +φ）=1，则 π 6 +φ= π 2 +2kπ，即φ= π 3 +2kπ，k∈z ∵0＜φ＜π，∴φ= π 3 ． 故f（x）=2sin（x+ π 3 ）． （2）函数y=f（x）图象上各点的横坐标压缩到原来的 1 2 ，纵坐标不变，得到函数y=g（x）=f（2x）的图象， 即g（x）=2sin（2x+ π 3 ）， 当x∈[- π 4 ， π 4 ]时，2x+ π 3 ∈[- π 6 ， 5π 6 ]， 则sin（2x+ π 3 ）∈[- 1 2 ，1]， 故函数g（x）的值域是[-1，2]．