Question

已知二项式（x-2x2）n，（n∈N*）的展开式中第5项的系数与第3项的系数的比是10：1，（1）求展开式中各项

已知二项式（x-2x2）n，（n∈N*）的展开式中第5项的系数与第3项的系数的比是10：1，（1）求展开式中各项的系数和；（2）求展开式中系数最大的项以及二项式系数最大的项．

Answer 1

（1）∵第5项的系数与第3项的系数的比是10：1，
∴

C 4 n (?2)4

C 2 n (?2)2

=10，解得n=8；
令x=1得到展开式中各项的系数和为（1-2）⁸=1；
（2）展开式中第r项，第r+1项，第r+2项的系数绝对值
分别为

C

r?1 8

?2r?1，

C

r 8

?2r，

C

r+1 8

?2r+1，
若第r+1项的系数绝对值最大，
则必须满足：

C

r?1 8

?2r?1≤

C

r 8

?2r，
 并且

C

r+1 8

?2r+1≤

C

r 8

?2r，解得5≤r≤6；
所以系数最大的项为T₇=1792?

1

x11

；
二项式系数最大的项为T₅=1120?

1

x6