△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，tanC＝sinA+sinBcosA+cosB．（Ⅰ）若sin（B-A）=cosC，求A，C；
△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，tanC＝sinA+sinBcosA+cosB．（Ⅰ）若sin（B-A）=cosC，求A，C；（Ⅱ）若c=7，且△ABC的...
△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，tanC＝sinA+sinBcosA+cosB．（Ⅰ）若sin（B-A）=cosC，求A，C；（Ⅱ）若c=7，且△ABC的面积为332，求a+b的值；（Ⅲ） 判断当sinA+sinB取最大值时，△ABC的形状．
展开
展开全部
（Ⅰ）因为tanC＝
，即
＝
，
所以sinCcosA+sinCcosB=cosCsinA+cosCsinB，
即 sinCcosA-cosCsinA=cosCsinB-sinCcosB，
得 sin（C-A）=sin（B-C）．
所以C-A=B-C，或C-A=π-（B-C）（不成立）．
即 2C=A+B，得C=
，所以B+A=
．
又因为sin（B-A）=cosC=
，
则B-A=
，或B-A=
（舍去）
得A=
，B=
，C=
．
（Ⅱ）∵C=
，C=
，由面积公式得
absin
＝
，即ab=6，
由余弦定理得
a2+b2?2abcos
＝7，即a2+b2-ab=7，②
由②变形得（a+b）2=25，∴a+b=5．
（Ⅲ）C=
，所以B+A=
，
sinA+sinB=sinA+sin(
?A)=
sinA+
| sinA+sinB |
| cosA+cosB |
| sinC |
| cosC |
| sinA+sinB |
| cosA+cosB |
所以sinCcosA+sinCcosB=cosCsinA+cosCsinB，
即 sinCcosA-cosCsinA=cosCsinB-sinCcosB，
得 sin（C-A）=sin（B-C）．
所以C-A=B-C，或C-A=π-（B-C）（不成立）．
即 2C=A+B，得C=
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
又因为sin（B-A）=cosC=
| 1 |
| 2 |
则B-A=
| π |
| 6 |
| 5π |
| 6 |
得A=
| π |
| 4 |
| 5π |
| 12 |
| π |
| 3 |
（Ⅱ）∵C=
| 7 |
| π |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
3
| ||
| 2 |
由余弦定理得
a2+b2?2abcos
| π |
| 3 |
由②变形得（a+b）2=25，∴a+b=5．
（Ⅲ）C=
| π |
| 3 |
| 2π |
| 3 |
sinA+sinB=sinA+sin(
| 2π |
| 3 |
| 3 |
| 2 |
|
