Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， tanC= sinA+sinB cosA+cosB ．（1）求角C的大小；

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， tanC= sinA+sinB cosA+cosB ．（1）求角C的大小；（2）若△ABC的外接圆直径为1，求a 2 +b 2 的取值范围．

Answer 1

（1）在△ABC中，∵ tanC= sinA+sinB cosA+cosB ，∴ sinC cosC = sinA+sinB cosA+cosB ， 化简可得 sinCcosA-cosCsinA=sinBcosC-cosBsinC，即 sin（C-A）=sin（B-C）． ∴C-A=B-C，或者C-A=π-（B-C） （不成立，舍去），即 2C=A+B，∴C= π 3 ． （2）由于C= π 3 ，设A= π 3 +α，B= π 3 -α，- π 3 ＜α＜ π 3 ， 由正弦定理可得 a=2rsinA=sinA，b=2rsinB=sinB， ∴a 2 +b 2 =sin 2 A+sin 2 B= 1-cos2A 2 + 1-cos2B 2 =1- 1 2 [cos（ 2π 3 +2α）+cos（ 2π 3 -2α）] =1+ 1 2 cos2α． 由- 2π 3 ＜2α＜ 2π 3 ，可得- 1 2 ＜cos2α≤1，∴ 3 4 ＜1+ 1 2 cos2α≤ 3 2 ，即a 2 +b 2 的取值范围为 （ 3 4 ， 3 2 ]．