Question

已知数列{an}的前项和为Sn，a1=1，且3an+1+2Sn=3（n∈N+）（1）求数列{an}的通项公式；（2）若对任意的正

已知数列{an}的前项和为Sn，a1=1，且3an+1+2Sn=3（n∈N+）（1）求数列{an}的通项公式；（2）若对任意的正整数n，32k≤Sn恒成立，求实数k的最大值．

Answer 1

（1）∵数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，3a_n+1+2S_n=3（n∈N⁺）①；
∴3a_n+2s_n-1=3（n≥2）②；
①-②得3a_n+1-3a_n+2a_n=0（n≥2），
∴a_n+1=

1

3

a_n（n≥2），
∴数列{a_n}是首项为a₁=1，公比q=

1

3

的等比数列，
∴{a_n}的通项公式为：a_n=a₁q^n-1=(

1

3

)n?1（n为正整数）；
（2）∵等比数列{a_n}的前n项和S_n=

a1(1?qn)

1?q

=

1?( 1 3 )n

1? 1 3

=

3

2

[1-(

1

3

)n]，
且

3

2

k≤Sn恒成立，∴k≤1-(

1

3

)n；
又数列{1-(

1

3

)n}是单调递增的，当n=1时，数列中的最小项为

2

3

，∴k≤

2

3

；
∴实数k的最大值为

2

3

．