Question

复变函数中f(z)=u(x,y)+iv(x,y)化成f(z)的形式中用的设零法是怎么证明的

已知f(z)=x(1+1/x^2+y^2)+iy(1-1/x^2+y^2)，将其写成z=x+iy的解析式。
解:用设零法
因为由计算可得原函数解析，所以设y=0带入原式可得

f(z)=x(1+1/x^2)=x+1/x

所以代回f(z)有f(z)=z+1/z
用设y=0最后为什么能把x换成z，这种方法的证明过程是什么呢

Answer 1

f(z)可微：f'(z)=u'x+iv'x

u'x为u对x的偏导数,v'x为v对x的偏导数，根据C.-R.方程,还有另外三种f(z)的表达方式。

由于函数解析，满足柯西黎曼方程，

所以u'x=v'y=e^x*cosy，

积分得u=e^x*cosy+g(y)，

再对x求偏导得u'y=-v'x=-e^x*siny+g'(y)

=-e^x*siny，g'(y)=0，所以

g(y)=c，由于f(0)=1+g(0)=2得c=1，所以u=e^x*cosy+1，f(z)=u=e^x*cosy+1+ie^x*siny。

扩展资料

复变函数与解析函数：

主辐角argz(-pi,pi), 辐角Argz=argz+2kpi;

零向量没有确定的方向角；

|z1z2|=|z1||z2|, Arg(z1z2)=Arg(z1)+Arg(z2);

邻域、内点、外点、边界点、开集（全是内点）、连通（任两个点可以多个折线段连接起来的点集称为连通的）区域（=开集+连通）；

简单曲线（只有一个重点【起点与终点重和的点】）、Jordan(若尔当)曲线（连续的简单闭曲线）。

Answer 2

其实原理很简单，因为z=x+iy，当令y=0，那么就有z=x，所以只要把x=z,y=0带入函数表达式就得到的f(z)，前提条件是函数要解析