Question

已知函数fx=ax3一3x2十b(1<a<2)只有两个零点,则实数l0ga2十l0gb2的最小值

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Answer 1

约定:[ ]内是对数的底数
原题是:已知函数f(x)=ax^3一3x^2十b(1<a<2)只有两个零点,则实数log[a]2十log[b]2的最小值.
f'(x)=3ax^2-6x=3ax(x-2/a)(1<a<2)

可得x=0和x=2/a是f(x)的两个极值点
f(x)只有两个零点的充要条件是:
f(0)=0或f(2/a)=0
代入化简得:b=0(舍去) 或 a^2b=4
因1<a<2,b=4/a^2有1<b<4

设m=log[2]a,n=log[2]b
则m>0,n>0
且2log[2]a+log[2]b=2
即 2m+n=2
log[a]2十log[b]2
=(1/m)+(1/n)
=(1/2)(2m+n)((1/m)+(1/n))
≥(1/2)(((√2m)(1/√m))+((√n)(1/√n)))^2 (柯西不等式)
=(1/2)(1+√2)^2
=(3/2)+√2
当(2m)(1/n)=n(1/m)且2m+n=2
即m=2-√2,n=2√2-2时取"="
此时a=2^(2-√2),b=2^(2√2-2)
所以 log[a]2十log[b]2的最小值是(3/2)+√2

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