Question

已知a为实数 ,函数fx=x^2-2alnx 求fx在[1,正无穷]上的最小值g(a)

Answer 1

f(x)=x^2-2alnx
求导有f'(x)=2x-2a/x
又定义域可知x>=1 所以若a<=0 函数递增 最小值为x=1 f(x)=1
a>0 f'(x)=2(x-a/x) 那么有x=√a 函数导数为0
若0<a<1 那么取不到x=√a 同样是x=1函数为f(x)=1
若a>=1，有x=√a为最小，那么有f(x)=a-2aln√a=a-alna

Answer 2

关于f(x)求导，得f'(x)=2x-a/x=(2x^2-2a)/x.
若a<=1,则f'(x)恒大于等于0，f(x)在[1,正无穷]上递增，则g(a)=f(1)=1
若a>1,则f(x)在[1,根a]上递减，[根a,正无穷]上递增，则g(a)=f(根a)=a-alna