Question

三角形ABC，∠A，∠B，∠C成等差数列，并且sinA，sinB，sinC成等比数列，请判断三角形

三角形ABC，∠A，∠B，∠C成等差数列，并且sinA，sinB，sinC成等比数列，请判断三角形ABC的形状。过程

Answer 1

解：设A=α，sinA=k，k∈（0,1），公差为d，公比为q；对应三边长分别为a，b，c；
则B=α+d，C=α+2d，sinB=qk，sinC=q²k
三角形内角和为180°，即α+α+d+α+2d=3（α+d）=180°，即α+d=B=60°
由正弦定理可知a/b=sinA/sinB,即a=b/q……①
同理c=qb……②，
由余弦定理公式b²=a²+c²-2accos60°得：cos60°=（a²+c²-b²）/2bc，将①、②关系式代入：
cos60°=（q²+1/q²-1）/2=1/2，即q²+1/q²-2=0，得出q²=1，
又A、B、C均小于180，即sinA,sinB,sinC都大于0，即q为正数，故取q=1，那么sinA=sinB=sinC，即A=B=C，由此可知△ABC为正三角形

Answer 2

1、2∠B=∠A+∠C，∠A+∠B+∠C=180°
那么∠B=60°，∠A+∠C=120°
2、sin²B=sinAsinC
那么sinAsinC=3/4
sinAsinC=-[cos(A+C)-cos(A-C)] /2
那么-[cos(A+C)-cos(A-C)] /2=3/4
1/2+cos（A-C)=3/2
cos（A-C)=1
A-C=0
那么∠A=∠C=60°
∴∠A=∠C=∠B=60°
那么△ABC是等边三角形

Answer 3

等边三角形：首先，三个角是等差数列，所以B是60度。正弦值成等比，用正弦定理，得出b^2=a*c,而b^2=a^2+c^2-2ac cosB,（余弦定理），化简得出a=c,带入b^2=ac,得出，a=b=c.

Answer 4

Answer 5