Question

如图，已知AD是三角形ABC的边BC上的中线，AE是三角形ABD的边BD上的中线，且BA＝BD，求

如图，已知AD是三角形ABC的边BC上的中线，AE是三角形ABD的边BD上的中线，且BA＝BD，求证：AC＝2AE

Answer 1

证明：延长AE到F,使EF=AE
在△ABE与△FDE中,
∵BE=DE （∵AE是△ABD边BD上的中线）
∠AEB=∠DEF （对顶角）
EF=AE
∴△ABE≌△FDE （边,角,边）
∴∠EDF=∠ABE,DF=AB
在△ADF与△ACD中,
∵DF=AB=CD （∵AD是△ABC边BC上的中线,且BA=BD ）
∠ADF=∠ADE+∠EDF
=∠BAD+∠ABE （∵BA=BD ）
=∠ADC （三角形的外角定理）
AD=AD （公共边）
∴△ADF≌△ACD （边,角,边）
∴AC=AF=AE+EF=2AE （∵EF=AE）
故AC=2AE

Answer 2

由BE=2AB BC=2AB ∠EBA=∠ABC △EBA相似于△ABC 边角边
所以 AC=2AE