Question

已知AD是三角形ABC的中线,AE是三角形ABD的中线，且AB=BD,求证AC=2AE

Answer 1

证明：

过D点作DF‖AB，交AC于F点。则：∠BAD=∠ADF.

而∠BAD=∠EDA (由AB=BD得）

所以：∠EDA=∠FDA

又因为：D,E分别是BC,BD的中点，且AB=BD,DF‖AB

所以：DF=(1/2)AB=(1/2)BD=DE

又：AD=AD (公共边）

所以：△AED≌△AFD

所以：AE=AF

而：由DF‖AB,D是BC中点得知 AF=FC

所以：AE=AF=FC=(1/2)AC,即AC=2AE

Answer 2

由于D是BC中点，
所以BD=DC=BC/2
由E是BD中点
所以BE=ED=BD/2=BC/4
因为BA=BD=BC/2
所以有AB:BC=BE:AB=1:2
三角形BAE和BCA中有公共角B，对应线段成比例
所以三角形BAE和BCA相似
所以AE:AC=AB:BC=1:2