Question

已知,如图,在平行四边形ABCD 中,AB=2AD ,M为AB的中点,连接DM ,MC .求证DM垂直于MC

Answer 1

证明：
∵M是AB的中点,
∴AB=2AM,
又∵AB=2AD,
∴AM=AD,
∴∠ADM=∠AMD,
∵▱ABCD,
∴AB∥CD,
∴∠AMD=∠MDC,
∴∠ADM=∠MDC,
即∠MDC=1 /2 ∠ADC,
同理∠MCD=1/ 2 ∠BCD,
∵▱ABCD,
∴AD∥BC,
∴∠MDC+∠MCD=1 /2 ∠BCD+1 /2 ∠ADC=90°,
即∠MDC+∠MCD=90°,
∴∠DMC=90°,
∴DM与MC互相垂直

追问

能简单一点吗？

Answer 2

过点M作AD的平行线ME交DC于点E                                                                                  ∵AD∥ME                                                                                                                   所以，四边形adem是平行四边形                                                                                    因为，ab=2ad ，且m是ab的中点                                                                                    所以，ad=em,所以de=am=1 /2ab=1 /2dc                                                                      所以，点e是dc的中点   【直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半】                                    所以，dm 垂直 mc