Question

在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=5，AC=6．过D点作DE∥AC交BC的延长线于点E．

（1求BDE的周长
《2点P为线段BC，连接PO并延长交AD于点Q，当四边形PQDE为等腰梯形时，求四边形ABPQ的面积

Answer 1

因为：ABCD是菱形
所以：AB=BC=CD=AD，AC垂直BD于O点，AO=CO，BO=DO
所以：BO^2+AO^2=AB^2

因为：AB=5，AC=6
所以：BO^2+3^2=5^2
所以：BO^2=25-9=16
所以：BO=4
所以：BD=8

因为：ABCD是菱形
所以：AD平行于BC（BE）
因为：DE平行于AC
所以：ACED是平行四边形
所以：DE=AC=6，CE=AD=5
所以：BE=BC+CE=10

【1】，BDE的周长=BD+DE+BE=8+6+10=24

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当PQDE为等腰梯形时，
因为：PQDE为等腰梯形，AD（QD）平行于BE（PE）
所以：QP和DE为等腰梯形的“腰”
即：PQ=DE
以D做垂直线，垂直BE于点Z
则：DZ^2+EZ^2=DE^2 ① DZ^2+CZ^2=CD^2 ②
且：EZ+CZ=CE=5，DE=6，CD=5
全部带入①②得：
DZ^2+EZ^2=36 ③
DZ^2+(5-EZ)^2=25
DZ^2=36-EZ^2=25-(5-EZ)^2
36+(5-EZ)^2=25+EZ^2
36+25-10*EZ+EZ^2=25+EZ^2
36-10*EZ=0
EZ=3.6
带入③得：
DZ^2+3.6^2=36
DZ^2=36-12.96=23.04
DZ=4.8
以O做垂直线，垂直BE于Y
因为：PQDE为等腰梯形
所以：∠QPE=∠DEP
所以：EZ:PY=DZ:OY=DE:OP
因为：O是菱形ABCD的对角线交点
所以：OY=DZ/2=4.8/2=2.4
所以：EZ:PY=2:1=DE:OP
因为：EZ=3.6，DE=6
所以：PY=3.6/2=1.8，OP=6/2=3
因为：OC=3
所以：CY^2+YO^2=CO^2
CY^2+2.4^2=3^2
CY^2+5.76=9
CY^2=3.24
CY=1.8
所以：PE=PY+CY+CE=1.8+1.8+5=8.6
延长YO到AD，并相交AD于点X
因为：AD平行于BE，OQ=OP，OX=OY=2.4
所以：QX=PY=1.8，XY=4.8
因为：DX平行于YZ，DZ垂直于YZ，XY垂直于YZ
所以：DXYZ为正四边形
所以：DX=YZ=CY+CZ=CY+CE-EZ=1.8+5-3.6=3.2
所以：DQ=DX-QX=3.2-1.8=1.4

AQ=AD-DQ=5-1.4=3.6
BP=BE-PE=10-8.6=1.4

四边形ABPQ（梯形）：
上边为3.6（AQ）
下边为1.4（BP）
高为4.8（XY）

【2】，四边形ABPQ的面积
（AQ+BP）*XY/2
=（3.6+1.4）*4.8/2
=5*4.8/2
=24/2
=12

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以上很多地方都可以简化省略。。。。

我啰嗦了。。。。

Answer 2

（1）因为四边形ABCD是菱形
所以AB=BC=AD=CD=5
AD平行BE
OA=OC=1/2AC
OB=OD=1/2BD
角BOC==90度
所以三角形BOC是直角三角形
所以BC^2=OB^2+OC^2
因为AC=6
所以OC=3
OB=4
BD=8
因为DE平行AC
所以四边形ADEC是平行四边形
所以AD=CE=5
AC=DE=6
因为三角形BDE的周长=BD+DE+BC+CE=8+6+5+5=24
(2)解：分别过点Q ,D作QH垂直BC于H ,DF垂直BC于F
所以QH平行DF
S三角形BDE=1/2BE*DF
因为四边形PQDE是等腰梯形
所以AD平行BE
QP=DE
角QHP=角DFE=90度
所以四边形DFHQ是平行四边形
所以DQ=FH
QH=DF
三角形QPH和三角形DEF是直角三角形
所以直角三角形QPH和直角三角形DEF全等（HL)
所以PH=CF
因为DE平行AC
所以角BDE=角BOC
因为角BOC=90度（已证）
所以角BDE=90度
所以三角形BDE是直角三角形
所以S三角形BDE=1/2BD*DE
因为BD=8 DE=6（已解）
所以QH=DF=4.8
因为四边形ABCD是菱形
所以AD=BC
OB=OD
AD平行BC
所以角ODQ=角OBP
角OQD=角OPB
所以三角形ODQ和三角形OBP全等（AAS)
所以BP=DQ
因为AD=AQ+DQ=6
四边形ABPQ=1/2(AQ+BP)*QH=1/2*5*4.8=12