Question

已知椭圆x²+2y²=32的左,右两个焦点分别为f1,f2,动点p满足|PF1|-|PF2|=4

求动点P的轨迹E的方程

Answer 1

解：由已知椭圆方程x^2+2y^2=32化简,方程化简为x^2/32+y^2/16=1.
现在可以知道椭圆短轴b=4,长轴a=4√2,c^2=a^2-b^2=4.
焦点F1坐标（-4,0）,焦点F2坐标（4,0）.
设P点坐标（x1,y1）,由|PF1|-|PF2|=4得,
√(x1+4)^2+y1^2 - √(x1-4)^2+y1^2=4,移项得,
√(x1+4)^2+y1^2=√(x1-4)^2+y1^2+4,两边同时平方,
(x1+4)^2+y1^2=(x1-4)^2+y1^2+16 + 8√(x1-4)^2+y1^2,
整理得,x1^2+8x1+16+y1^2=x1^2－8x1+16+y1^2+16+8√(x1-4)^2+y1^2,
16x1-16=8√(x1-4)^2+y1^2,
2x1-2=√(x1-4)^2+y1^2,
两边同时平方,(2x1-2)^2=(x1-4)^2+y1^2,
4x1^2－8x1+4=x1^2-8x1+16+y1,
3x1^2－y1^2=12得到x1^2/4－y1^2/12=1,即x^2/4－y^2/12=1即为动点P的轨迹方程为双曲线。