Question

已知向量m=(sinA,cosA),n=(cosB,sinB),m*n=sin2C且A,B,C分别为三角形ABC三边a,b,c所对的角.

已知向量m=(sinA,cosA),n=(cosB,sinB),m*n=sin2C且A,B,C分别为三角形ABC三边a,b,c所对的角.
(1)求角C的大小
(2)若sinA,sinC,sinB成等比数列,且(向量CA)*(向量CB)=18,求c的值.

Answer 1

（1）m·n=sinA·cosB+cosA·sinB=sin（A+B）=sin（180-C）=sinC
∵m·n=sin2C
∴sinC=sin2C
即C=2C或C+2C=90°，解得C=0（舍）或30°
（2）∵sinA,sinC,sinB成等比数列
∴sin²C=sinB·sinA ①
由正弦定理可知：sinA=a/2R，sinB=b/2R，sinC=c/2R
代入①中，可得：c²=a·b(即c²=|`向量b|·|向量a|)
|向量CA|·|向量CB|=|`向量b|·|向量a|
=（向量CA·向量CB）/cos<向量CA,向量CB>
=12√3
即c²=|向量CA|·|向量CB|=12√3

Answer 2

1 m*n=SinACosB+CosASinB=Sin(A+B)=Sin2C
所以 A+B=2C
180-C=2C C=60
2因为sinA,sinC,sinB成等比数列
所以sin方C=sinAsinB
(向量CA)*(向量CB)=ab*cosC=18 即ab=36
因为c²=a·b=36
所以c=6