线性代数 求大神 基础解系证明题 如图
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A(ηi-η0)=Aηi-Aη0=b-b=0
即ηi-η0是AX=0的解
而r(A)=r,则AX=0的基础解系有n-r个
因此只需证明η1-η0，η2-η0，...
ηn-r-η0线性无关（即向量组秩等于n-r）
即可证明此向量组是AX=0的基础解系。
令k1(η1-η0)+k2(η2-η0)+k3(η3-η0)+...+kn-r(ηn-r-η0)=0 【1】
即k1η1+k2η2+k3η3+...+kn-rηn-r-(k1+k2+k3+...+kn-r)η0=0
由于ηi线性无关，则
系数k1=k2=k3=...=-(k1+k2+k3+...+kn-r)=0
因此由【1】式，知道η1-η0，η2-η0，...
ηn-r-η0线性无关，从而此向量组是AX=0的基础解系
即ηi-η0是AX=0的解
而r(A)=r,则AX=0的基础解系有n-r个
因此只需证明η1-η0，η2-η0，...
ηn-r-η0线性无关（即向量组秩等于n-r）
即可证明此向量组是AX=0的基础解系。
令k1(η1-η0)+k2(η2-η0)+k3(η3-η0)+...+kn-r(ηn-r-η0)=0 【1】
即k1η1+k2η2+k3η3+...+kn-rηn-r-(k1+k2+k3+...+kn-r)η0=0
由于ηi线性无关，则
系数k1=k2=k3=...=-(k1+k2+k3+...+kn-r)=0
因此由【1】式，知道η1-η0，η2-η0，...
ηn-r-η0线性无关，从而此向量组是AX=0的基础解系
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