Question

请教高等数学的一道求极限题，谢谢

(1/x)ln((sinx)/x)当x趋于0时求极限。
我把这个式子看成是f(x)*g(x)型的，f(x)=(1/x),g(x)=ln((sinx)/x),此时（sinx)/x是一个重要极限，结果为1，那不就是ln1，或者从等价无穷小的角度，sinx与x是等价的，把sinx换成x,那不还是ln1，这样g(x)取极限的结果为0，再乘以前面的那个分式结果为零，但是答案不对，原因是这是一个零乘以无穷型的未定式，请问未定式是不是不能采用把x的值代入的方法做？？
我还想再请问一下，如果抛开上面那个题，只看g(x)=ln((sinx)/x),那么是不是就可以按照上述方法计算出它的极限为0，而上面那个题之所以不能这样代入是因为那个题是未定式不能用这种方法计算而并不是因为这种方法本身就是错的，是吗？？如果只看g(x)=ln((sinx)/x),就可以那样代入x的值计算极限了，对吗？？g(x)应该是个函数嵌套吧，应该满足复合函数的极限法则，lim f[g(x)]=f[lim g(x)] ,对吗？
我数学基础不好，所以有点混乱，希望大家耐心解释一下，谢谢，谢谢，非常感谢！！
这道题答案是 -（1/6）
一楼是不是做错了!
这道题我在想的时候还有一个问题刚才忘说了，就是复合函数是不是比较容易看出来，不会很复杂，像g(x)就是复合函数lnu,u=((sinx)/x),但是u=((sinx)/x)是不是就只能看成是两个函数的商，已经没法再看做复合函数了？？？
谢谢大家，谢谢，谢谢！！

Answer 1

首先，这个题目有很多种解法：如罗比达法则，等价无穷小代换，变形应用重要极限，泰勒公式等等都可以

下面我来依次回答你的问题：

1.请问未定式是不是不能采用把x的值代入的方法做？？
可以带入，我本来是要说不可以带入了的，但确实允许带入，我不能剥削你带入的权利；
问题在于，你带入之后仍然是未定式，算不出结果，所以徒劳无功，聪明点对于未定式就不要做这样的无谓尝试了.

2.我还想再请问一下，如果抛开上面那个题，只看g(x)=ln((sinx)/x),那么是不是就可以按照上述方法计算出它的极限为0，而上面那个题之所以不能这样代入是因为那个题是未定式不能用这种方法计算而并不是因为这种方法本身就是错的，是吗？？

是的，你的理解完全正确！

3.如果只看g(x)=ln((sinx)/x),就可以那样代入x的值计算极限了，对吗？？g(x)应该是个函数嵌套吧，应该满足复合函数的极限法则，lim f[g(x)]=f[lim g(x)] ,对吗？

是的，你的理解完全正确！

4.我随便选取一种方法来给你做正确的求解如下：

为了书写方便和便于阅读 ，lim[x->0]都以lim代替了,我会写的很详细

lim (1/x)ln((sinx)/x)
=lim(1/x)ln{1+[(sinx-x)/x]}
=lim (1/x)[(sinx-x)/x]
=lim (sinx-x)/x^2
=lim (cosx-1)/2x
=lim (-x^2/2)/2x
=lim -x/4
=0

从上面详尽的推导过程可知，原式=0，与你的答案不同，但我对
这个结果有绝对的自信！

5.你说的你的这道题的答案是 -1/6
原因可能在于：
（1）你看错了没？
（2）印刷错误，原题目如果是 lim[x->0] (1/x^2)ln(sinx/x)
那么结果就是 -1/6 了 ！

Hope all this helps !~~ :-)

Answer 2

对0/0，∞/∞，0*∞，∞-∞，0^0,1^∞,∞^0等各类未定式不能直接用极限运算法则

(1/x)ln((sinx)/x) 是0*∞型 ，所以不可以用运算法则
limf(x)g(x)=limg(x)*limf(x)

不是未定式就可以直接替代。
比如求lim(x+1)ln((sinx)/x),这就不是未定式，可以变成
lim(x+1)*limln((sinx)/x),这时就可以直接替代

Answer 3

这道题算了算好像不能直接求其极限，不能避免要用到罗比达法则，比如你可以从第一步计算的时候就用罗比达法则，按照1L仁兄的解答，他在=（sinx-x)/x^2=(cosx-1)/2x也还是用了罗比达法则，既然总体解题思路是罗比达法则，那么具体的正确解法就不用赘述，直接来看看你的解法的问题所在。

教材上面有一些关于无穷小的运算规则，其中最重要的一个就是

“无穷小乘以有界变量等于无穷小”，

也就是说，在涉及到无穷小乘法（或除法）运算的时候，一定要严格考察另外的那一个变量是否有界。所以有两个很重要的式子：
(1)sin(1/x)/(1/x)(当x趋于0时）=xsin(1/x)=无穷小*有界变量=0
（2）sin(1/x)/(1/x)(当x趋于无穷大时）=1

所以你既然已经知道另一个变量是无穷的，那么很显然这样得到的结果肯定是错误的。所以你计算g(x)=ln((sinx)/x)的方法并没有错，错的是在得到这个结果后不应该就直接去乘f（x)，因为g(x)是无穷小量而f(x)并非是有界变量。

至于代入求极限的话，你应该要保证分之不是类似“0—0”或者分母为0的情况，一般都是到了最后一步了才去代入吧。

Answer 4

将ln((sinx)/x)拆成lnsinx-lnx 那么这个极限就是lim（x*lnsinx-x*lnx）利用洛必达法则 容易求得 结果为0 至于洛必达法则 百度百科里有介绍 适用于0/0或∞/∞这种形式（成为未定式） 注意 必须是除法运算 对分子分母分别求导 直到不是未定式为止 注意哦 不是未定式的分式绝对不能用洛必达法则

Answer 5

g(x)=ln((sinx)/x)的X-0时的极限的确是0
但是f(x)=(1/x)当x-0时的极限时无穷大
零乘以一个有限的数值是0，但是零乘以无穷型却不一定为0，比如1/x*x=而不是0
使用等价无穷小替代 ln((sinx)/x) ~sinx/x-1
原式=（sinx-x)/x^2=(cosx-1)/2x=sinx/2=0