Question

已知数列{an}中满足a1=1,a(n+1)=2an+1 (n∈N*),证明a1/a2+a2/a3+…+an/a(n+1)<n/2

Answer 1

A(n+1)=2An+1
A(n+1)+1=2An+2=2(An+1)
A1+1=1+1=2
数列{An+1}是以2为首项，2为公比的等比数列
An+1=2^n
An=2^n-1
n=1时，A1=1也满足上式

An/A(n+1)=(2^n-1)/(2^(n+1)-1)
分式上下同除(2^n-1)
An/A(n+1)=1/(2+1/(2^n-1))
n>=1时，2^n-1>0，1/(2+1/(2^n-1))<1/2

An/A(n+1)<1/2
A1/A2<1/2
A2/A3<1/2
……
A1/A2+A2/A3+……An/A(n+1)<1/2×n<n/2

Answer 2

证明：a1=1,a(n+1)=2an+1 (n∈N*),a2=3,a3=7,a4=15,...
a(n+1)=2an+1>2an an/a(n+1)<1/2
a1/a2+a2/a3+…+an/a(n+1)<1/2+1/2+1/2+....+1/2=(1+1+1+...+1)/2
=n/2
所以a1/a2+a2/a3+…+an/a(n+1)<n/2

Answer 3

a(n+1)=2an+1
所以a(n+1)+1=2(an+1)
所以(an+1)/〔a(n+1)+1〕=1/2
且an/a(n+1)<(an+1)/〔a(n+1)+1〕
所以a1/a2+a2/a3+…+an/a(n+1)
<（a1+1)/(a2+1)+(a2+1)/(a3+1)+……<(an+1)/〔a(n+1)+1〕
=n/2

Answer 4

·an an an+1/2-1/2 1 1 1
——— =——-=——————=—— - ———— < ——
a(n+1) 2an+1 2（an+1/2） 2 4an+2 2

∴a1/a2<1/2
a2/a3<1/2
……
an/a(n+1)<1/2
∴a1/a2+a2/a3+…+an/a(n+1)<n/2