Question

求函数y=(x^2-4*x+3)/(2*x^2-x-1)的值域

要过程

Answer 1

y=(x^2-*x+3)/(2·x^2-x-1)
2y＝（2·x^2-8x+6）/(2·x^2-x-1)＝（2·x^2-x-1-7x+7）/(2·x^2-x-1)
＝1-7·（x-1）/[（x-1）(2x+1)]＝1-7/(2x+1)，注意x≠1；
化为基本函数样式即2/7·（y-0.5）＝-1/〔2（x+0.5）〕

函数y＝1/x的值域,(-∞，0)U （0，∞）
利用函数的变换原则：解析式里为+ - × ÷，图像或者坐标等方面与之相反，即- + ÷ ×；
函数2/7·y＝1/（2x）的值域为(-∞，0÷2/7)U （0÷2/7，∞），还是(-∞，0)U （0，∞）；
函数2/7·y＝-1/（2x）的值域为(-∞，0)U （0，∞），这个x前加负号，是表示函数关于y轴对称，对值域是没有影响的。若y前加加-号，对值域这些区间也是有规律的，即是两个边线都加-号然后倒置，即（-0，--∞）U（-∞，-0）实际上还是(-∞，0)U （0，∞）。

函数2/7·（y-0.5）＝-1/〔2（x+0.5）〕的值域(-∞+0.5，0+0.5)U （0+0.5，∞+0.5），即(-∞，0.5)U （0.5，∞）。值域指y；
最好记得要取出x＝1，当x＝1时，2y＝1-7/(2x+1)，的y＝-2/3；
最后值域，(-∞，-2/3)U （-2/3，0.5）U（0.5，∞）。
我个人喜欢由基本函数来变换求其他函数的值域，很少出错的。

Answer 2

按定义，分式中分母不等于零，即2*x^2-x-1≠0，亦即(2x+1)(x-1)≠0,
所以x≠-1/2 且 x≠1,所以定义域为x∈(-∞,-1/2)∪(-1/2,1)∪(1,+∞),
在定义域内,原函数y=(x^2-4*x+3)/(2*x^2-x-1)=[(x-3)(x-1)]/[(2x+1)(x-1)],
即 y=(x-3)/(2x+1),
转化成部分分式：y=[(1/2)(2x+1)-7/2]/(2x+1)=1/2-(7/2)/(2x+1),
y´=7/(2x+1)²>0,所以函数单调递增，
[1/2-(7/2)/(2x+1)]→1/2(x→±∞)
[1/2-(7/2)/(2x+1)]→-∞(x→-1/2,x>-1/2)
[1/2-(7/2)/(2x+1)]→+∞(x→-1/2,x<-1/2)
[1/2-(7/2)/(2x+1)]→-2/3(x→1)
所以函数的值域为(-∞,-2/3)∪(-2/3,1/2)∪(1/2,+∞)

Answer 3

可知道定义域 x不等于-0.5
化简原式
y=((x-3)(x-1))/((2x+1)(x-1))
y=(x-3)/(2x+1)

值域为(-无限,0.5)U(0.5,+无限)