Question

利用均值不等式求y=x-x^3/2(x^4+x^2+1)的值域

Answer 1

定义域为R
x^4+1>=2x^2,当且仅当x=+/-1时，等号成立
当x>0时，
y>=x-x^3/2(2x^2+x^2)=5x/6，当x=1时，等号成立，
所以y>=5/6,值域为[5/6,正无穷大）
当x<0时
y<=x-x^3/2(2x^2+x^2)=5x/6,当x=-1时，等号成立，
所以y<=-5/6,值域为(负无穷大，-5/6]
综上，y的值域为(负无穷大，-5/6]∪[5/6,正无穷大）

Answer 2

少了个括号,(若没有括号值域是R)
y=(x-x^3)/2(x^4+x²+1)
=x(1-x²)/2[(x²-1)²+3x²]
=1/2/[(1-x²)/x+3x/(1-x²)]
计算值域
x≥1的时候，变换为
原式=1/2/{-[(x²-1)/x+3x/(x²-1)]}（分子应用均值不等式）
≥1/2/(-2√3)=-√3/12 仅当(x²-1)/x=x/(x²-1)；x=(√5+1)/2
而且注意到x=1的时候，函数值为0，大于1的时候，函数值小于0的，
所以此区间呢值域就是[-√3/12，0]
1>x≥0的时候
=1/2/[(1-x²)/x+3x/(1-x²)](分子应用均值不等式)
≤1/2/(2√3)=√3/12 仅当(x²-1)/x=x/(x²-1)；x=(√5-1)/2
注意到x=0的时候，函数值为0，大于0小于1的时候，函数值大于0的
此区间的值域就是[0，√3/12]
综合起来，在x≥0的时候，值域就是[-√3/12,√3/12]
原函数是个奇函数，所以原函数在R上的值域就是[-√3/12,√3/12]