Question

比较()a+b)/2与(a-b)/(㏑a-㏑b)大小

比较()a+b)/2与(a-b)/(㏑a-㏑b)大小

Answer 1

由定义域可知：a,b>0，且a≠b
由对称性，不妨设a>毁漏察b>0
[(a-b)/(lna-lnb)]/[(a+b)/2]
=2(a-b)/(a+b)(lna-lnb)
=2(a/b-1)/[(a/b+1)ln(a/b)]
令f(x)=2(x-1)/(x+1)lnx，其中x>1
f'(x)=2[(x+1)lnx-(x-1)(lnx+1+1/x)]/[(x+1)lnx]^2
=2(2lnx-x+1/纤茄x)/[(x+1)lnx]^2
令g(x)=2lnx-x+1/x，其中x>1
g'(x)=2/x-1-1/x^2
=(2x-x^2-1)/x^2
=-(x-1)^2/x^2
<0
g(1)=0
所以g(x)<g(1)=0
所以f'搜键(x)=2g(x)/[(x+1)lnx]^2<0
f(1+)=lim(x->1+)2(x-1)/(x+1)lnx
=lim(x->1+)(x-1)/lnx
=lim(x->1+)1/(1/x)
=1
所以f(x)<f(1+)=1
即当x>1时，2(x-1)/(x+1)lnx<1
因为a/b>1，所以2(a/b-1)/[(a/b+1)ln(a/b)]<1
即[(a-b)/(lna-lnb)]/[(a+b)/2]<1
(a+b)/2>(a-b)/(lna-lnb)