Question

用数列极限定义证明：lim(n→∞) n!/n^n = 0

Answer 1

证明：任意ε>0，要使得（n！/n^n）<ε

则n!/n^n

=n(n-1)(n-2)...2*1/(n*n*...)

=<n/n* (n-1)/n *(n-2)/n-1 *...*2/3 *1/2

=1/n<ε

n>1/ε，取N=[1/ε]，当n>N，有n>1/ε

所以（n！/n^n）<ε恒成立

所以lim(n→∞) n!/n^n = 0

扩展资料

性质：

当分母等于零时，就不能将趋向值直接代入分母，可以通过下面几个小方法解决：

第一：因式分解，通过约分使分母不会为零。

第二：若分母出现根号，可以配一个因子使根号去除。

第三：以上所说的解法都是在趋向值是一个固定值的时候进行的，如果趋向于无穷，分子分母可以同时除以自变量的最高次方。（通常会用到这个定理：无穷大的倒数为无穷小）

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 3

对於任意E>0
要使|n!/n^n-0|=1/n*2/n*...*n/n<1/n*n/n*...*n/n=1/n<E
只要n>1/E
∴取N=[1/E],当n>N时,有|n!/n^n-0|<E
原式得证