Question

已知二次函数f(x)=x^2+bx+c(b、c∈R)

我已经用了特殊值法，但是特殊值法不够严谨，谁有严谨的好办法，只要回答，无论对错，均在此表示感谢。已知二次函数f(x)=x^2+bx+c(b、c∈R)，若对于任意的实数b，都存在实数x0∈[1,2]，使得|f(x)|≥x成立，求实数c的取值范围。

Answer 1

解：答案：（-无穷，-2】U[4,+无穷）。
当x属于[1,2]时， ｜f(X)|>=x <==> |f(x)/x| >=1 <==>|x+c/x+b|>=1
构造函数g(x)=x+c/x+b ,x 属于【1，2】，记函数g(x) 的最大值为M，最小值为m,则 ｜g(x)|的最大值=max{|M|,|m|}
原问题<==> 对任意实数b,｜M|>=1 或｜m|>=1，求c的范围D。<==>关于b的不等式｜M|>=1与｜m｜>=1的并集为R,求实数c的范围.
若c<=0 ,则 g(x)是增函数， 所以 m=1+c+b , M=2+c/2+b，
若0<c<=1, 则 g(x)也是增函数，所以 m=1+c+b, M=2+c/2+b .
若c>1 则 g(X) 在区间【1，根号C] 是减函数，在区间【根号c，2】是增函数
m=2根号 c+b , M=max{1+c+b, 2+c/2+b}, 1<c<=2 时 ，M=2+c/2+b
c>2 时，M=1+c+b；
（I)若 c<=1, ｜m|>=1 ===>|1+c+b|>=1 <==> b>=-c 或 b<=-2-c
|M|>=1 <==>|2+c/2+b|>=1 <==> b>=-1-c/2 或 b<=-c/2-3.
记集合A={b| b>=-c 或 b<=-2-c }, B={b| b>=-1-c/2 或 b<=-c/2-3}
AUB=R, 利用数轴，数形结合，c<=1===>-1-c/2<-c, -3-c/2<-2-c
当 -1-c/2<=-2-c 即 c<=-2 时，AUB=R.
(II), 当c>1时，｜g(X)｜的最大值=max{2根号 c+b , max{1+c+b, 2+c/2+b}}
设C={b| |2根号 c+b|>=1}, 只需满足 AUBUC=R 即可。

追问

这个地方可能出现了笔误。不过您的回答确实开辟了新思路，让我收获了新方法。我还没有来得及仔细计算，不知道答案正误。非常感谢。

追答

当时由于时间关系，解答不完整，我重算了一遍：正确答案应为（-无穷，-2] U [6,+无穷）。
（II) 当c>1时， |g(x)|的最大值max{|2根号c+b|,max{|1+c+b|,|2+c/2+b|}}
集合C={b|b>=1-2根号c 或 b=-1-c/2 或 b-1-c/2=16 .所以 1c>=2 则 -2-c=-c}=R -c
(根号c-1）^2>=2 根号c-1>=根号2.
解得 c>=3+2根号2. 所以 4>c>=2 不合题意；
（iii) 若 c>=4, g(x) 是减函数，M=g(1)=1+c+b, m=g(2)=2+c/2+b, 类似的，可得 c>=6.
综上所述：所求的实数c 的取值范围是：（-无穷，-2] U [6,+无穷）。
答题不易，若有疑问，请追问，否则请采纳！！！
你的参考答案是什么？请在追问或评论中或问题补充中给出！！！

Answer 2

存在实数x0∈[1,2]，使得|f(x)|≥x成立

说明只需要|f(x)|的最大值大于等于x就可以了

最大值只有在端点处取得

那么只需要lf（1）l>=1,|f(2)|>=2

所以|1+b+c|>=1,|4+2b+c|>=2

追问

对于任意实数b都成立。所以，当b取某些值的时候，对称轴是在区间[1,2]上的。这里是|f(x)|，而不是f(x)，所以其最大值应该来自区间端点处的函数值和顶点处的函数值。仅仅取1和2是不够的，还要取顶点处的函数值。

追答

那在原来的基础上还加上lf（-b/2）l>=-b/2

Answer 3

教方法吧，探讨B在R上的取值（分段取值）求C值

Answer 4

{－∞；0}

追问

要详细解答过程。答案我做出来了。