Question

设过函数f（x）＝lnx+x的图像上任意一点处的切线为l1。总存在过曲线g（x

设过函数f（x）＝lnx+x的图像上任意一点处的切线为l1。总存在过曲线g（x）＝2x＋acosx上的一点处的切线l2，使得l1⊥l2，则实数a的取值范围是？

Answer 1

f'(x)g'(x2)=-1,x2有解。
定义域，x>0

f'(x)=1/x+1
g'(x)=2-asinx
2-asin(x2)=-1/(1/x+1)=-x/(1+x)
asin(x2)=2+x/(1+x)=(3x+2)/(x+1)
sin(x2)=(3x+2)/[a(x+1)]
-1≤(3x+2)/[a(x+1)]≤1
-（x+1）≤(3x+2)/a≤(x+1)
-（x+1)/(3x+2)≤1/a≤（x+1)/(3x+2)
设y=（x+1)/(3x+2)
-y≤1/a≤y
y'=[3x+2-3(x+1)]/(3x+2)²=-1/(3x+2)²<0,y是减函数；
x->0,y->1/2;x->+∞，y->1/3,
1/3<y<1/2，-1/2<-y<-1/3,
因此，-1/3≤1/a≤1/3，
a<0,右端始终成立，左端，-a/3≥1，-a≥3，a≤-3；
或者a>0,左端恒成立，右端，a≥3