Question

二阶微分方程，已知f(x)满足如图方程，求f(x)

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Answer 1

原式：
（x+1）∫（0，x）f（t）dt-∫（0，x）tf（t）dt=e^x+x²-f（x）
两边求导：
∫（0，x）f（t）dt+（x+1）f（x）-xf（x）=e^x+2x-f'（x)
∫（0，x）f（t）dt+f（x）=e^x+2x-f'（x)
再求导一次
f(x)+f'(x)=e^x+2-f''(x)
f''(x)+f'(x)+f(x)=e^x+2
齐次形式：
f''(x)+f'(x)+f(x)=0
对应特征方程：
r²+r+1=0
r=（-1±√（1-4））/2=-1/2±（√3/2）i
齐次方程通解：
y=e^(-x/2)[C1cos(√3x/2）+C2sin(√3x/2）]
特解：f(x)=e^x/3+2
f'(x)=e^x/3
f''(x)=e^x/3
f''(x)+f'(x)+f(x)=e^x/3+e^x/3+e^x/3+2=e^x/3+2
通解：
f(x)=e^(-x/2)[C1cos(√3x/2）+C2sin(√3x/2）]+e^x/3+2
代入原式，求出常数C1，C2即可。

Answer 2

我晚上回答可以吗

追问

嗯嗯