Question

已知数列an满足a1=1,a(n+1)=an^2+2an求an的通项公式

Answer 1

分子为2次的分式递推式，我记得只有3种特殊系数的形式可解，最常见的如下面这个
a<n+1>=(a<n>^2+A)/(2a<n>+B)
找出（不动点），令a<n+1>=a<n>=x
a<n+1>=a<n>^2/(2a<n>+1)
x=x^2/(2x+1)，x^2+x=0，x1=-1，x2=0

(a<n+1>-x1)/(a<n+1>-x2)
=(a<n+1>+1)/a<n+1>
=[a<n>^2/(2a<n>+1)+1]/[a<n>^2/(2a<n>+1)]
=[(a<n>+1)/a<n>]^2
由于a<1>=1，易知a<n>恒大于0
取对数ln[(a<n+1>+1)/a<n+1>]=2ln[(a<n>+1)/a<n>]
显然{ln[(a<n>+1)/a<n>]}是公比为2的等比数列
ln[(a<n>+1)/a<n>]=ln[(a<1>+1)/a<1>]*2^(n-1)=2^(n-1)ln2=ln2^[2^(n-1)]
所以(a<n>+1)/a<n>=2^[2^(n-1)]
所以a<n>=1/{2^[2^(n-1)]-1}

记住做法就行了，没必要搞懂为何要这样。这本身是大学数学研究的东西，而且一般理工科学生都不学。你可以认为这是一个巧合。
（顺便废话一句，令a<n+1>=a<n>=x，因为n趋近无穷时，假如数列极限，那么a<n+1>与a<n>的极限值相等，所以x就是其可能的极限值。详细研究这种数列的图像，是一个压缩映射。）
（这种递推形式，和由牛顿迭代法求一元二次方程一模一样。）