Question

一道复变函数的问题：计算∫c ln(1+z)dz,其中c是从-i到i的直线段.

Answer 1

解：原式=∫c㏑（1+z）dz

=z㏑（1+z）|（-i到i）-∫（-i到i）zd㏑（1+z）

=z㏑（1+z）|（-i到i）-∫（-i到i）z/（1+z）dz

=（-2+㏑2+Π/2）i

=f(-i)=i-1-i=-1

=f(i)=-i-1+i=-1

=f(i)-f(-i)

=0

扩展资料

性质：

复变数复值函数的简称。设A是一个复数集，如果对A中的任一复数z，通过一个确定的规则有一个或若干个复数w与之对应，就说在复数集A上定义了一个复变函数。

设ƒ(z)是A上的复变函数，α是A中一点。如果对任一正数ε，都有正数δ，当z∈A且|z-α|<δ时，|ƒ(z)-ƒ(α)|<ε恒成立，则称ƒ(z)在α处是连续的。

如果在A上处处连续，则称为A上的连续函数或连续映射。

设ƒ是紧集A上的连续函数，则对任一正数ε，必存在不依赖自变数z的正数δ，当z1，z2∈A且|z1-z2<δ时|ƒ(z1)-ƒ(z2)|<ε恒成立。这个性质称为ƒ(z)在A上的一致连续性或均匀连续性。

Answer 2

∫c㏑（1+z）dz
=z㏑（1+z）|（-i到i）-∫（-i到i）zd㏑（1+z）
=z㏑（1+z）|（-i到i）-∫（-i到i）z/（1+z）dz
=（-2+㏑2+Π/2）i

Answer 3

因为被积函数是多项式函数，属于整函数，所以积分结果与路径无关，可以通过牛顿-莱布尼兹公式求解。
被积函数的一个原函数为f(z)=z³+z²+z，因此积分的结果就是原函数在积分端点的差值。
因为f(-i)=i-1-i=-1，f(i)=-i-1+i=-1，所以积分的结果为f(i)-f(-i)=0.