Question

已知如图，正五边形ABCDE边长为a，求对角线长x

Answer 1

用托勒密定理:
∵正五边形五点共圆，
∴其中任意四点共圆.
在圆内接四边形BCDE中(其实BE应该是辅助线，需要自己作上，这个图都提示到家了)，
设BE为x，由于BE，BD，CE均为正五边形对角线，故BE＝BD＝CE＝x.
由题意知BC＝CD＝DE＝1.
则由托勒密定理可知，
BD²·CE²＝BC²·DE²＋CD²·BE².
即x²＝1*1＋1*x.
解得x＝(1＋√5)/2 (舍去负值).
这是清华自招的原题.

Answer 2

五边形ABCD是正五边形,AB=a
连接AC,BE相交于点F
∵ABCDE是正五边形
可得∠BAE=108°,∠ABE=∠AEB=∠BAC=36°
∴∠EAF=∠EFA=72°
∴EA=EF=a
∵∠ABF=∠EBA
∴△ABF∽△AEB
∴AB²-BF*BE
设BE=x
那么a²=x(x-a)
x²-ax=a²
x=(1+√5)a/2
即正五边形的对角线长为4+4√5

追答

收到了吗？

追问

要用托勒密定理做

Answer 3

正五边形内角108度，角ABE=角AEB=36度，对角线长x=2acos36度。