Question

求一元二次方程的判别式和推导过程

一元二次方程的判别式到底是什么？是否等于韦达定理？它是如何得到的？请把推导过程写得详细一些（初中阶段所学）

Answer 1

1.根的判别式：
对于任何一个一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)可以用配方法将其变形为
(x+b/2a)²=b²/4a²-c/a

因为a≠0，所以4a2＞0，这样一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况可由b2-4ac来判定。我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0的根的判别式，用希腊字母△来表示，即△=b2-4ac。一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)，当△=b2-4ac＞0时，有两个不相等的实数根；当△=b2-4ac=0时，有两个相等的实数根；当△=b2-4ac＜0时，没有实数根。

上述性质反过来也成立

2 韦达定理：

元二次方程求根公式为：
x=(-b±√b^2-4ac)/2a
则x1=(-b+√b^2-4ac)/2a，x2=(-b-√b^2-4ac)/2a
x1+x2=（-b+√b^2-4ac/2a）+（-b-√b^2-4ac/2a）
x1+x2=-b/a
x1*x2=（-b+√b^2-4ac/2a）*（-b-√b^2-4ac/2a）
x1*x2=c/a

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2-4ac。

3推理

定理1 ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ＞0方程有两个不等实数根.
定理2 ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ=0方程有两个相等实数
定理3 ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ＜0方程没有实数根.

根的判别式逆用（注意：根据课本“反过来也成立”）得到三个定理。

定理4 ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程有两个不等实数根Δ＞0.
定理5 ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程有两个相等实数根Δ＝0.

定理6 ax2+bx+c=0(a≠0)中，方程没有实数根Δ＜0.

注意：（1）根的判别式是指Δ=b2-4ac。（2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。(3)如果说方程有实数根，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2-4ac≥0切勿丢掉等号。(4)根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，要注意隐含条件a≠0.

Answer 2

判别式是Δ=b^2-4ac,常用于判断方程解的情况：
若b^2-4ac>0 则方程有两个不相等的实数根
若b^2-4ac=0 则方程有两个相等的实数根
若b^2-4ac<0 则方程没有实数解
韦达定理是：一元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0 且△=b^2-4ac≥0)中
设两个根为X1和X2
则X1+X2= -b/a
X1*X2=c/a
证明：当Δ＝b^2-4ac≥0时,方程
ax^2+bx+c=0(a≠0)
有两个实根，设为x1,x2.
由求根公式x＝(-b±√Δ)/2a,不妨取
x1＝(-b-√Δ)/2a,x2＝(-b+√Δ)/2a,
则：x1+x2
=(-b-√Δ)/2a+(-b+√Δ)/2a
=-2b/2a
=-b/a,
x1*x2=[(-b-√Δ)/2a][(-b+√Δ)/2a]
=[(-b)^2-Δ]/4a^2
=4ac/4a^2
=c/a.
综上，x1+x2=-b/a,x1*x2=c/a.

Answer 3

解：判别式是Δ=b^2-4ac,常用于判断方程解的情况：
若b^2-4ac>0 则方程有两个不相等的实数根；
若b^2-4ac=0 则方程有两个相等的实数根；
若b^2-4ac<0 则方程没有实数根；
注：（1）反过来也成立
（2）使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以便正确找出a、b、c的值。
(3)如果说方程有实数根，即应当包括有两个不等实根或有两相等实根两种情况，此时b2-4ac≥0切勿丢掉等号。
（4)根的判别式b2-4ac的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方 程中，因此，要注意隐含条件a≠0. 若题目中说的是“方程…………”则应分类讨论。
只有当题目中说的是“一元二次方程…………”，才能直接用。

不等于韦达定理。韦达定理是：X1+X2= -b/a，X1·X2=c/a

证明：当Δ＝b^2-4ac≥0时,方程ax^2+bx+c=0(a≠0)
有两个实根，设为x1,x2.
由求根公式x＝(-b±√Δ)/2a,
不妨取x1＝(-b-√Δ)/2a,x2＝(-b+√Δ)/2a,
则x1+x2
=(-b-√Δ)/2a+(-b+√Δ)/2a
=-2b/2a
=-b/a,
x1·x2=[(-b-√Δ)/2a][(-b+√Δ)/2a]
=[(-b)^2-Δ]/4a^2
=4ac/4a^2
=c/a.
综上所述，x1+x2=-b/a,x1·x2=c/a。

Answer 4

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b^2-4ac。
定理1 ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ＞0方程有两个不等实数根.
定理2 ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ=0方程有两个相等实数根.
定理3 ax2+bx+c=0(a≠0)中，Δ＜0方程没有实数根.

不等于韦达定理
推导：配方法
a(x+b/2a)²=b²/4a-c (x+b/2a)²=b²/4a²-c/a

Answer 5

例:ax^2+bx+c=0,令两边同除以a得x^2+b/ax+c/a=0。接下来配方:x^2+b/ax+(b/2a)^2=(b/2a)^2一c/a。下面化简得(x+b/2a)^2=(b^2-4ac)/4a^2。两边同时开方移项后得x1=[-b+根号下(b^2-4ac)]/2a或x2=[-b-根号下(b^2-4ac)]/2a。因为b^2-4ac在根号下若b^2-4ac>0则X1不等于x2,有两不等根;当b^2-4ac=0时X1=x2=b/2a,有一根.当b^2-4ac<0时,根号下不可为负,此时无实根.