Question

如何求解偏微分方程

Answer 1

这是典型的热传导方程，可以用经典的分离变量法来求解：
令u(x,t)=f(x)g(t)，那么代入原方程得到：
fg`=f``g
不妨记f``/f=g`/g=-λ，得到两个微分方程：
f``+λf=0
g`+λg=0
并注意边界条件：
u(0,t)=f(0)g(t)=0，即f(0)=0
u`(1,t)=f`(1)g(t)=0，即f`(1)=0………………注意若g(t)等于0则有平凡解u=0，舍去；
将此两个条件代入f的方程就能解出一个f的特解：
特征方程r²+λ=0
当λ小于或等于0时，f的非零解（两个指数函数的和）无法满足边界条件；当λ大于0时，f的形式为两个三角函数，代入边界条件分析λ应满足cos√λ=0，所以λ=(2n-1)²π²/4（对应每个正整数n，共有无穷多个），每个λ又对应一个解，所以最后关于x的通解是n个解的和；
在没有其它关于g的条件时方程的通解就是这个特解乘以关于t的任意函数。
题目的后两问就是添加关于t的边界条件从而解出g的方法（特别注意要把λ代入g的方程），解法就是经典的一阶微分方程的解法，留给题主自行解决。最后再把关于x和t的解乘起来就OK了！
网页书写比较麻烦，请参考《数理方程》中有关分离变量法的部分。

Answer 2

求解一道偏微分方程
ux+2uy-4u=e^(x+y）
边值条件：u（x,4x+2）=0
解：由于只有一阶偏微分,所以作线性变量代换
α=x+y（这是因为等号的右边含有x+y）
β=ax+by
由链式法则可知
∂u/∂x=∂u/∂α+a∂u/∂β
∂u/∂y=∂u/∂α+b∂u/∂β
代入原方程得
3∂u/∂α+(a+2b)∂u/∂β-4u=e^(x+y),这里将u看成关于α,β的函数
不妨取a=2,b=-1
那么α=x+y,β=2x-y
那么有3∂u/∂α-4u=e^α
这相当于关于α的一阶线性常微分方程
解得u=-e^α+Ce^(4α/3),其中C为关于β=2x-y的函数f(2x-y)
即u=-e^(x+y)+e^[4(x+y)/3]f(2x-y)
将边值条件代入得
f(-2-2x)=e^(-(2/3) - (5 x)/3)
因此f(x)=e^(1+(5x)/6)
代入u=-e^(x+y)+e^[4(x+y)/3]f(2x-y)得
u=e^(3x+y/2+1)-e^(x+y)