求曲线y=x/(1+x^2)的渐近线
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上海华然企业咨询
2024-10-28 广告
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①
当x=0时,y=0。
②
当x<0时,-x-1/x≧2,∴x+1/x≦-2,∴1/(x+1/x)≧-1/2,
∴此时y=x/(1+x^2)=1/(x+1/x)≧-1/2。
③
当x>0时,x+1/x≧2,∴1/(x+1/x)≦1/2,
此时y=x/(1+x^2)=1/(x+1/x)≦1/2。
-----
综合①②③,得:-1/2≦y≦1/2,∴曲线y=x/(1+x^2)没有垂直渐近线和斜渐近线。
但当x→∞时,(1+x^2)是x的高阶无穷大,∴当x→∞时,y→0。
∴曲线y=x/(1+x^2)有水平渐近线,且渐近线是:y=0。
当x=0时,y=0。
②
当x<0时,-x-1/x≧2,∴x+1/x≦-2,∴1/(x+1/x)≧-1/2,
∴此时y=x/(1+x^2)=1/(x+1/x)≧-1/2。
③
当x>0时,x+1/x≧2,∴1/(x+1/x)≦1/2,
此时y=x/(1+x^2)=1/(x+1/x)≦1/2。
-----
综合①②③,得:-1/2≦y≦1/2,∴曲线y=x/(1+x^2)没有垂直渐近线和斜渐近线。
但当x→∞时,(1+x^2)是x的高阶无穷大,∴当x→∞时,y→0。
∴曲线y=x/(1+x^2)有水平渐近线,且渐近线是:y=0。
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2017-08-12 · 知道合伙人教育行家
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(1)定义域为R,
∴不存在垂直渐近线。
(2)lim(x→∞)y=0
∴存在水平渐近线y=0
综上,仅有一条水平渐近线y=0
∴不存在垂直渐近线。
(2)lim(x→∞)y=0
∴存在水平渐近线y=0
综上,仅有一条水平渐近线y=0
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①当x>0时,y=x^2/(x^2+x-2) x^2+x-2=(x+2)(x-1) 故定义域为 (0,1)∪(1,+∞)
lim(x→1-)y=-∞ lim(x→1+)y=+∞ ∴x=1是y的垂直渐近线
lim(x→∞)y=1 ∴y=1是y的水平渐近线
lim(x→∞)(y/x)=lim(x→∞)(x/(x^2+x-2))=0 没有斜渐近线
②当x<0时,y=x^2/(x^2+x-2) x^2+x-2=(x+2)(x-1) 故定义域为 (-∞,-2)∪(2,0)
lim(x→-2-)y=-∞ lim(x→-2+)y=+∞ ∴x=-2是y的垂直渐近线
lim(x→∞)y=-1 ∴y=-1是y的水平渐近线
lim(x→∞)(y/x)=lim(x→∞)(-x/(x^2+x-2))=0 没有斜渐近线
故y的渐近线为x=1或x=-2或y=1或y=-1
lim(x→1-)y=-∞ lim(x→1+)y=+∞ ∴x=1是y的垂直渐近线
lim(x→∞)y=1 ∴y=1是y的水平渐近线
lim(x→∞)(y/x)=lim(x→∞)(x/(x^2+x-2))=0 没有斜渐近线
②当x<0时,y=x^2/(x^2+x-2) x^2+x-2=(x+2)(x-1) 故定义域为 (-∞,-2)∪(2,0)
lim(x→-2-)y=-∞ lim(x→-2+)y=+∞ ∴x=-2是y的垂直渐近线
lim(x→∞)y=-1 ∴y=-1是y的水平渐近线
lim(x→∞)(y/x)=lim(x→∞)(-x/(x^2+x-2))=0 没有斜渐近线
故y的渐近线为x=1或x=-2或y=1或y=-1
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是 1/X 就是将x 趋近于无限大
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