Question

求微分方程的通解(3x²-y²)dy-2xydx=0

求微分方程的通解(3x²-y²)dy-2xydx=0求过程，谢谢

Answer 1

dy/dx=2(y/x)/(3-(y/x)²)
令u=y/x，dy/dx=u+xdu/dx
xdu/dx=2u/(3-u²)-u
(3-u²)/(u³-u)du=dx/x
1/(u-1)-3/u+1/(u+1)du=lnx+lnC
(u²-1)/u³=Cx
(y²x-x³)/y³=Cx
y²-x²=Cy³

Answer 2

（3x²-y²）y'=2xy

追问

您好，书本上的答案是y³=y²-x²，原题是第五小题

麻烦您再给看看，我想了好久都没写出来

追答

两边除以x²，都是（y/x）的函数，设y=tx，y'=t十xt'
换元法

或者，将x看成y的函数
3x²-y²=2xyx'
2xyx'-3x²十y²=0
齐次
2xyx'=3x²
x'/x=（3/2）/y
lnx=（3/2）lny十C1
x=Dy（3/2）

变常数为
x'=D'y^（3/2）十（3/2）Dy^（1/2）
代入
2（Dy^（3/2））（ D'y^（3/2）十（3/2）Dy^（1/2） ）-3D²y³十y²=0
2DD'y³十3D²y²-3D²y³十y²=0
y=0,是一解。
2DD'y十3D²-3D²y十1=0