求解答 高数题 100
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解：应用“二重积分中值定理”求解。
∵若f(x，y)在有界闭区域D上连续，则存在(ξ,η)∈D，使得∫∫Df(x,y)dδ=f(ξ,η)S(D)，其中，SD是积分区域D的面积，
而，题中S(D)=πR²，R→0时，(ξ,η)→(0,0)。又，f(x,y)在x+y≤1内连续，∴(ξ,η)→(0,0)时，f(x,y)=f(0,0)。
∴原式=lim(R→0)πR²f(ξ,η)/R²=lim((ξ,η)→(0,0))πf(ξ,η)=πf(0,0)。
供参考。
∵若f(x，y)在有界闭区域D上连续，则存在(ξ,η)∈D，使得∫∫Df(x,y)dδ=f(ξ,η)S(D)，其中，SD是积分区域D的面积，
而，题中S(D)=πR²，R→0时，(ξ,η)→(0,0)。又，f(x,y)在x+y≤1内连续，∴(ξ,η)→(0,0)时，f(x,y)=f(0,0)。
∴原式=lim(R→0)πR²f(ξ,η)/R²=lim((ξ,η)→(0,0))πf(ξ,η)=πf(0,0)。
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