Question

请教一道高数题

感谢！

Answer 1

由原式，得 f(0) = 0, 两边对 x 求导， 得
xf(x) = 2x + f'(x), 即 f'(x) - xf(x) = -2x 为一阶线性微分方程
f(x) = e^(∫xdx) [∫-2xe^(-∫xdx)dx + C] = e^(x^2/2) [∫-2xe^(-x^2/2)dx + C]
= e^(x^2/2) [2∫e^(-x^2/2)d(-x^2/2) + C] = e^(x^2/2) [2e^(-x^2/2) + C]
= 2 + Ce^(x^2/2),
f(0) = 0 代入， 得 C = -2， 则 f(x) = 2 - 2e^(x^2/2)

Answer 2

可以的。其过程可以是，lim(n→∞)a^(1/n)=e^[lim(n→∞)(lna)/n]。而，lim(n→∞)(lna)/n=0，
∴lim(n→∞)a^(1/n)=e^0=1。
【另外，本题的条件可以“放宽”到a>0】供参考。