Question

高等数学极限，

高等数学极限，a的值我知道了，b的值怎么求？

Answer 1

lim<x→+∞>√(3x^2+x+1)-ax-b
= lim<x→+∞>[√(3x^2+x+1)-(ax+b)] [√(3x^2+x+1)+(ax+b)] / [√(3x^2+x+1)+(ax+b)]
= lim<x→+∞>[(3x^2+x+1)-(ax+b)^2]/[√(3x^2+x+1)+(ax+b)]
= lim<x→+∞>[(3-a^2)x^2+(1-2ab)x+1-b^2]/[√(3x^2+x+1)+(ax+b)], 分子分母同除以 x，
= lim<x→+∞>[(3-a^2)x+(1-2ab)+(1-b^2)/x]/[√(3+1/x+1/x^2)+(a+b/x)] = 0
只有 3-a^2 = 0, 1-2ab = 0,
a = √3, b = 1/(2√3) 或 a = -√3, b = -1/(2√3)

追问

这个的极限怎么求？万分感谢

追答

原式 = lim[√(3x^2+x+1)-√3x] [√(3x^2+x+1)+√3x]/[√(3x^2+x+1)+√3x]
= lim[(3x^2+x+1)-3x^2]/[√(3x^2+x+1)+√3x]
= lim(x+1)/[√(3x^2+x+1)+√3x] 分子分母同除以 x，
= lim(1+1/x)/[√(3+1/x+1/x^2)+√3] = 1/(2√3)

Answer 2

lim(x->+∞) [√(3x^2+x+1) -ax-b ]
=lim(x->+∞) [(3x^2+x+1) -(ax+b)^2 ] /[√(3x^2+x+1) +(ax+b) ]
=lim(x->+∞) [(3-a^2)x^2+(1-2ab)x+(1-b^2) ] /[√(3x^2+x+1) +(ax+b) ]
分子
x^2 的系数 =0
3-a^2 =0
a=√3 or -√3( rejected)
a=√3
x 的系数 =0
1-2ab=0
1-2√3.b = 0
b = √3/6
(a,b) =(√3 , √3/6)

追问

这个极限怎么求，万分感谢

追答

lim(x->+∞) [√(3x^2+x+1) -√3x ] =b
lim(x->+∞) [(3x^2+x+1) -3x^2 ]/[√(3x^2+x+1) +√3x ] =b
lim(x->+∞) (x+1)/[√(3x^2+x+1) +√3x ] =b
lim(x->+∞) (1+1/x)/[√(3+1/x+1/x^2) +√3 ] =b
1/(2√3) =b
b=√3/6