线性代数,,,
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线性空间的维数n是指,这个线性空间中,有n个元素(向量)线性无关,任何n+1个元素(向量)都是线性相关的。那么n就是这个线性空间的维数。实际上也就是这个线性空间的最大无关组中元素(向量)的数量。 W1的维数是3,说明W1中的三个向量线性无关。 w2的维数是3,说明w2中的四个向量线性相关,其中能找到3个向量线性无关。 w3的维数是4,说明w3中的4个向量线性无关。然后要求w4的最大线性无关组向量数量。首先w4中有4个向量,所以维数最大只可能是4。第1个向量+第2个向量=第3个向量所以这4个向量不是线性无关,所以维数最大只可能是3。 w3的维数是4,说明w3中的4个向量a1、a2、a3、a4+a5线性无关,所以a1、a2、a3也线性无关(线性无关组中的向量组成的任意组合都必然线性无关) w2的维数是3,说明w3中的4个a1、a2、a3、a4向量线性相关,而a1、a2、a3线性无关,所以a4可以用a1、a2、a3表示,即a4=k1a1+k2a2+k3a3,带入w3得到 a1、a2、a3、(k1a1+k2a2+k3a3+a5)线性无关,经过等效变换得到 a1、a2、a3、a5线性无关所以a5-a1-a2-a3-a4=a5-(k1+1)a1-(k2+1)a2-(k3+1)a3 因为a1、a2、a3、a5线性无关,所以a5-(k1+1)a1-(k2+1)a2-(k3+1)a3和a1、a1+a2也线性无关所以w4的最大无关组有3个向量 w4的维数是3
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