Question

这个积分怎么算，含参变量的积分？

Answer 1

分享一种解法。
设I(a)=∫(0,π/2)ln[(1+acosx)/(1-acosx)]dx/cosx。显然，I(0)=0。且丨a丨<1时，f(x)=ln[(1+acosx)/(1-cosx)]dx/cosx在x∈(0,π/2)上连续，
∴两边对I(a)求导，有I'(a)=2∫(0,π/2)dx/(1-a²cos²x)]dx。而，1/(1-a²cos²x)=1/[sin²x+(1-a²)cos²x]=sec²x/[tan²x+(1-a²)].
∴I'(a)=π/√(1-a²)。∴原式=∫(0,a)I'(a)da=π∫(0,a)da/√(1-a²)=πarcsina。
供参考。