Question

正方形ABCD-A'B'C'D'中，E在AB'上，F在BD上，且B'E=BF。求证，EF平行平面BB'C'C

Answer 1

过点E作EG⊥BB'于G，过点F做FH⊥BC于H。
因为，∠AB'B=∠DBC=45°，且B'E=BF，
所以，EG=B'E·sin45°=BF·sin45°=FH。
因为，BC⊥平面ABB'A，
所以，BC⊥EG；
而且，EG⊥BB'，
所以，EG⊥平面BB'C'C；
同理可得：FH⊥平面BB'C'C；
即有：EG和FH分别是点E和点F到平面BB'C'C的距离。
因为，点E和点F到平面BB'C'C的距离相等，且两点在平面的同一侧，
所以，EF∥平面BB'C'C。