Question

ad是三角形abc的中线，be交ac于e，交ad于f，且ae等于ef。求证ac等于bf

Answer 1

有两种解法：①延长AD至点M，使MD=FD，连MC，则可证△BDF≌CDM（SAS），可得MC=BF，∠M=∠BFM，再得∠M=∠MAC，得AC=MC=BF．
②延长AD至点M，使DM=AD，连BM，可证△ADC≌△MDB（SAS），方法与①相同．解答：
证明：方法一：延长AD至点M，使MD=FD，连MC，
∴△BDF≌CDM（SAS）．
∴MC=BF，∠M=∠BFM．
∵EA=EF，
∴∠EAF=∠EFA，
∵∠AFE=∠BFM，
∴∠M=∠MAC，
∴AC=MC，
∴BF=AC
方法二：延长AD至点M，使DM=AD，连BM，
∴△ADC≌△MDB（SAS），
∴∠M=∠MAC，BM=AC，
∵EA=EF，
∴∠CAM=AFE，而∠AFE=∠BFM，
∴∠M=∠BFM，
∴BM=BF，
∴BF=AC．
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