Question

证明极限不存在：当（x,y）趋于（0，0）时（x+y)/(x-y) 的极限

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

设（x，y）沿y=kx的路径趋于(0,0)，则有原式就为x趋于0时lim[（x+kx)/(x-kx)）]=lim[(1+k)/(1-k)],可以看出当k取不同值时候，其极限不同，与极限的唯一性相矛盾，所以极限不存在。
（1）要使limu=1，也就是要k=0，即(x,y)沿y=0方向趋近于（0，0），
（2）要使用limu=2，也就是要k=1/3,即沿y=1/3x
的方向趋于(0,0).

Answer 3

沿着两条直线
y=2x
y=-2x
趋于(0,0)时
极限分别为
-3
和
-1/3
不相等
极限存在的定义要求
延任何过(0,0)直线求极限时
极限都相等
所以极限不存在