Question

函数f(x)=-x^2+4x-1在区间[t,t+1](t∈R)上的最大值为g(t).求：

Answer 1

1)f(x)=-x²+4x-1=-(x-2)²+3,
f(x)是关于x的二次函数,开口向下,对称轴x=2
若2∈(t,t+1),
即1<=t<=2时,
f(x)最大值在x=2处取得

∴g(t)=f(2)=3
若t>=2,
则f(x)在[t,t+1]上单调减,
f(x)最大值在x=t处取得

∴g(t)=f(t)=-(t-2)²+3
若t<=1,
则f(x)在[t,t+1]上单调增,
f(x)最大值在x=t+1处取得

∴g(t)=f(t+1)=-(t+1-2)²+3=-(t-1)²+3
∴g(t)解析式为
2)
t>=2时,
g(t)=-(t-2)²+3,
g(t)在t=2处取得最大值3
1<t<2时,g(t)=3
t<=1时,
g(t)=-(t-1)²+3,
g(t)在x=1处取得最大值3
综上,g(t)最大值为3