Question

求y''+y'-2y=x²+x-2通解

Answer 1

特征方程r^2+r-2=0
特征根为r1=1,r2=-2
对应齐次方程通解为Y=C1e^x+C2e^(-2x)
设特解为y*=ax^2+bx+c
y*'=2ax+b,y*'=2a
所以有2a+(2ax+b)-2(ax^2+bx+c)=x^2+x-2
得-2a=1,2a-2b=1,2a+b-2c=-2
解得a=-1/2,b=-1,c=0
所以原方程通解为y=C1e^x+C2e^(-2x)-1/2x^2-x

Answer 2

特征方程 r^2+r-2 = 0, r = 1, -2.
故可设特解 y = ax^2+bx+c，
代入微分方程得 2a+2ax+b-2ax^2-2bx-2c = x^2+x-2
得 a = -1/2, b = -1, c = 0, 特解 y = -(1/2)x^2-x.
微分方程通解是 y = C1e^x + C2e^(-2x) - (1/2)x^2 - x