Question

矩阵初等因子与不变因子求法

Answer 1

你是数学系的吧我按照一个数学系的标准给你讲下若当标准型是怎么来的,有什么用.最后再讲你的问题.算是给你补补课...
若当标准型是和矩阵的相似密不可分的.
我们知道一种非常特殊的矩阵是可以进行矩阵的相似对角化的.例如实对称矩阵.当把矩阵相似对角化之后,第一对于解矩阵的行列式的值,迹的值,特征值,等等具有"相似不变性性质"的东西都是很有帮助的.第二,例如我们要研究线性变换a的性质,我们知道它在不同的基底下的矩阵表示是不一样的,而这种不同基底下的矩阵之间是相似关系,因此相似的另一个用途是:已知线性变换在某基底下的矩阵表示为a,a很"复杂",我们可以求他的简单的相似矩阵b(比如发现a有相似对角形,相似上三角形或若当型),那么就可以舍弃a而研究b,因为b也是那个线性变换在某个基下的表示.以上是从矩阵(代数)和空间(几何)两个方面分析得到的相似这个概念的重要性.第三点,若当标准型常用来判断两个矩阵是否相似.如果两个矩阵有相同的相似标准型(有理标准型,初等因子友阵型或若当标准型),那么两个矩阵必相似.
我们看到了相似的重要概念,然后学过了任何实矩阵a都可正交相似上三角化,实对称矩阵可以正交相似对角化(谱分解定理).我们知道对角化对角线上只有n个元素,上三角矩阵的元素个数太多.对一般矩阵我们要寻求一种简单方便的标准型,容易进行各种运算例如幂运算.经过数学家的不断努力,终于得到了"若当型"
若当型对矩阵的幂运算,指数运算exp(a),秩的观察等都有很好的效果,因此是一个有效的方便的标准型.
一大堆废话后解释他和特征值特征向量的关系:
第一,若当标准型的对角线上n个元素一定是矩阵的n个特征值.
第二,若当标准型与特征向量无直接关系(但是,从构造思路上有联系~)
这两个结论可以直接从书中若当标准型的证明中看出来,不变因子组性质.
至于第二里边的括号内容"思路上与特征向量有关系",要用若当型另一种证明方法才能看出来
书中的"不变因子"的方法,可以看成是代数学的方法,我们还可以用"几何学"的方法来证明,就是空间分解的方法.
我们知道矩阵a可以看成是线性变换在线性空间v的一个矩阵表出,如果v的基底选的特殊一点,那么就会得到线性变换的另一种矩阵表出b,其中a,b相似.如果a有n个线性无关的特征向量,以此为v的基底,那么这个线性变换在此基下的表出b就是对角形.用代数写出来就是p逆ap=b,b是对角阵对角线上是a的n个特征值.p是a的n个特征向量的排列.
可是对于一般矩阵a,不一定有n个线性无关的特征向量啊,(矩阵a代数重数大于几何重数时)换句话说,对于一般的矩阵a,不一定可以相似对角化啊!
数学家们引进了"特征多项式"和"最小多项式"的概念,用最小多项式的每个"素因子",找到了a在每个素因子下的"广义特征向量",然后用广义特征向量组成一组v的基底,就得到了a的相似矩阵.这种空间分解方法叫"准素分解".这是若当标准型思维上唯一用到特征向量的地方.
若当标准型,是对空间v进行准素分解再进行循环分解后得到的相似型.循环分解就不给你讲了.